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2016黃石中考數學試題試卷及答案

作者:佚名 信息來源:本站原創 更新時間:2016-9-25

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2016年湖北省黃石市中考數學試卷
 
一、仔細選一選(本題有10個小題,每小題3分,共30分)下面每個小題給出的四個選項中,只有一個是正確的,請把正確選項所對應的字母在答題卷中相應的格子涂黑.注意可用多種不同的方法來選取正確答案.
1. 的倒數是(  )
A.  B.2 C.﹣2 D.﹣
2.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(  )
A.  B.  C.  D.
3.地球的平均半徑約為6 371 000米,該數字用科學記數法可表示為(  )
A.0.6371×107B.6.371×106C.6.371×107D.6.371×103
4.如圖所示,線段AC的垂直平分線交線段AB于點D,∠A=50°,則∠BDC=(  )
 
A.50° B.100° C.120° D.130°
5.下列運算正確的是(  )
A.a3•a2=a6B.a12÷a3=a4C.a3+b3=(a+b)3D.(a3)2=a6
6.黃石農科所在相同條件下經試驗發現蠶豆種子的發芽率為97.1%,請估計黃石地區1000斤蠶豆種子中不能發芽的大約有(  )
A.971斤 B.129斤 C.97.1斤 D.29斤
7.某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示,則該幾何體可能是(  )
 
A.長方體 B.圓錐 C.圓柱 D.球
8.如圖所示,⊙O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON=(  )
 
A.5 B.7 C.9 D.11
9.以x為自變量的二次函數y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的圖象不經過第三象限,則實數b的取值范圍是(  )
A.b≥ B.b≥1或b≤﹣1 C.b≥2 D.1≤b≤2
10.如圖所示,向一個半徑為R、容積為V的球形容器內注水,則能夠反映容器內水的體積y與容器內水深x間的函數關系的圖象可能是(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、認真填一填(本題有6個小題,每小題3分,共18分)要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容,盡量完整地填寫答案.
11.因式分解:x2﹣36=      .
12.關于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數根之積為負,則實數m的取值范圍是      .
13.如圖所示,一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向,距離燈塔4海里的A處,該海輪沿南偏東30°方向航行      海里后,到達位于燈塔P的正東方向的B處.
 
14.如圖所示,一只螞蟻從A點出發到D,E,F處尋覓食物.假定螞蟻在每個岔路口都可能的隨機選擇一條向左下或右下的路徑(比如A岔路口可以向左下到達B處,也可以向右下到達C處,其中A,B,C都是岔路口).那么,螞蟻從A出發到達E處的概率是      .
 
15.如圖所示,正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O,OA=AC=2,將正方形繞O點順時針旋轉60°,在旋轉過程中,正方形掃過的面積是      .
 
16.觀察下列等式:
第1個等式:a1= = ﹣1,
第2個等式:a2= = ﹣ ,
第3個等式:a3= =2﹣ ,
第4個等式:a4= = ﹣2,
按上述規律,回答以下問題:
(1)請寫出第n個等式:an=      ;
(2)a1+a2+a3+…+an=      .
 
三、全面答一答(本題有9個小題,共72分)解答應寫出文字說明,證明過程或推演步驟.如果覺得有的題目有點困難,那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以.
17.計算:(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.
18.先化簡,再求值: ÷ • ,其中a=2016.
19.如圖,⊙O的直徑為AB,點C在圓周上(異于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分線,求證:直線CD是⊙O的切線.
 
20.解方程組 .
21.為了解某市初三學生的體育測試成績和課外體育鍛煉時間的情況,現從全市初三學生體育測試成績中隨機抽取200名學生的體育測試成績作為樣本.體育成績分為四個等次:優秀、良好、及格、不及格.
體育鍛煉時間 人數
4≤x≤6       
2≤x<4 43
0≤x<2 15
(1)試求樣本扇形圖中體育成績“良好”所對扇形圓心角的度數;
(2)統計樣本中體育成績“優秀”和“良好”學生課外體育鍛煉時間表(如圖表所示),請將圖表填寫完整(記學生課外體育鍛煉時間為x小時);
(3)全市初三學生中有14400人的體育測試成績為“優秀”和“良好”,請估計這些學生中課外體育鍛煉時間不少于4小時的學生人數.
 
22.如圖,為測量一座山峰CF的高度,將此山的某側山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的,測得坡長AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.
(1)求AB段山坡的高度EF;
(2)求山峰的高度CF.( 1.414,CF結果精確到米)
 
23.科技館是少年兒童節假日游玩的樂園.
如圖所示,圖中點的橫坐標x表示科技館從8:30開門后經過的時間(分鐘),縱坐標y表示到達科技館的總人數.圖中曲線對應的函數解析式為y= ,10:00之后來的游客較少可忽略不計.
(1)請寫出圖中曲線對應的函數解析式;
(2)為保證科技館內游客的游玩質量,館內人數不超過684人,后來的人在館外休息區等待.從10:30開始到12:00館內陸續有人離館,平均每分鐘離館4人,直到館內人數減少到624人時,館外等待的游客可全部進入.請問館外游客最多等待多少分鐘?
 
24.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如圖1,若點D關于直線AE的對稱點為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)如圖3,若α=45°,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
 
25.如圖1所示,已知:點A(﹣2,﹣1)在雙曲線C:y= 上,直線l1:y=﹣x+2,直線l2與l1關于原點成中心對稱,F1(2,2),F2(﹣2,﹣2)兩點間的連線與曲線C在第一象限內的交點為B,P是曲線C上第一象限內異于B的一動點,過P作x軸平行線分別交l1,l2于M,N兩點.
(1)求雙曲線C及直線l2的解析式;
(2)求證:PF2﹣PF1=MN=4;
(3)如圖2所示,△PF1F2的內切圓與F1F2,PF1,PF2三邊分別相切于點Q,R,S,求證:點Q與點B重合.(參考公式:在平面坐標系中,若有點A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B兩點間的距離公式為AB= .)
 
 
 
2016年湖北省黃石市中考數學試卷
參考答案與試題解析
 
一、仔細選一選(本題有10個小題,每小題3分,共30分)下面每個小題給出的四個選項中,只有一個是正確的,請把正確選項所對應的字母在答題卷中相應的格子涂黑.注意可用多種不同的方法來選取正確答案.
1. 的倒數是(  )
A.  B.2 C.﹣2 D.﹣
【分析】直接利用倒數的定義分析求出答案.
【解答】解:∵2× =1,
∴ 的倒數是:2.
故選:B.
【點評】此題主要考查了倒數的定義,正確把握定義是解題關鍵.
 
2.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】依據軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義回答即可.
【解答】解:A、是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形,故A錯誤;
B、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故B正確;
C、是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形,故C錯誤;
D、是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形,故D錯誤.
故選:B.
【點評】本題主要考查的是軸對稱圖形和中心對稱圖形,掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的特點是解題的關鍵.
 
3.地球的平均半徑約為6 371 000米,該數字用科學記數法可表示為(  )
A.0.6371×107B.6.371×106C.6.371×107D.6.371×103
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.
【解答】解:6 371 000=6.371×106,
故選:B.
【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數,表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.
 
4.如圖所示,線段AC的垂直平分線交線段AB于點D,∠A=50°,則∠BDC=(  )
 
A.50° B.100° C.120° D.130°
【分析】根據線段垂直平分線的性質得到DA=DC,根據等腰三角形的性質得到∠DCA=∠A,根據三角形的外角的性質計算即可.
【解答】解:∵DE是線段AC的垂直平分線,
∴DA=DC,
∴∠DCA=∠A=50°,
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°,
故選:B.
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質和三角形的外角的性質,掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.
 
5.下列運算正確的是(  )
A.a3•a2=a6B.a12÷a3=a4C.a3+b3=(a+b)3D.(a3)2=a6
【分析】根據同底數冪的乘除法、合并同類項以及冪的乘方與積的乘方計算法則進行解答.
【解答】解:A、原式=a3+2=a5,故本選項錯誤;
B、原式=a12﹣3=a9,故本選項錯誤;
C、右邊=a3+3a2b+3ab2+b3≠左邊,故本選項錯誤;
D、原式=a3×2=a6,故本選項正確.
故選:D.
【點評】本題考查了同底數冪的乘除法、合并同類項以及冪的乘方與積的乘方,熟記計算法則即可解答該題.
 
6.黃石農科所在相同條件下經試驗發現蠶豆種子的發芽率為97.1%,請估計黃石地區1000斤蠶豆種子中不能發芽的大約有(  )
A.971斤 B.129斤 C.97.1斤 D.29斤
【分析】根據蠶豆種子的發芽率為97.1%,可以估計黃石地區1000斤蠶豆種子中不能發芽的大約有多少,本題得以解決.
【解答】解:由題意可得,
黃石地區1000斤蠶豆種子中不能發芽的大約有:1000×(1﹣97.1%)=1000×0.029=29斤,
故選D.
【點評】本題考查用樣本估計總體,解題的關鍵是明確題意,注意求得是不能發芽的種子數.
 
7.某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示,則該幾何體可能是(  )
 
A.長方體 B.圓錐 C.圓柱 D.球
【分析】主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面看,所得到的圖形,根據該幾何體的主視圖和左視圖都是長方形,可得該幾何體可能是圓柱體.
【解答】解:∵如圖所示幾何體的主視圖和左視圖,
∴該幾何體可能是圓柱體.
故選C.
【點評】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀,主要考查學生空間想象能力,掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵.
 
8.如圖所示,⊙O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON=(  )
 
A.5 B.7 C.9 D.11
【分析】根據⊙O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,可以求得AN的長,從而可以求得ON的長.
【解答】解:由題意可得,
OA=13,∠ONA=90°,AB=24,
∴AN=12,
∴ON= ,
故選A.
【點評】本題考查垂徑定理,解題的關鍵是明確垂徑定理的內容,利用垂徑定理解答問題.
 
9.以x為自變量的二次函數y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的圖象不經過第三象限,則實數b的取值范圍是(  )
A.b≥ B.b≥1或b≤﹣1 C.b≥2 D.1≤b≤2
【分析】由于二次函數y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的圖象不經過第三象限,所以拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經過一、二、四象限,根據二次項系數知道拋物線開口方向向上,由此可以確定拋物線與x軸有無交點,拋物線與y軸的交點的位置,由此即可得出關于b的不等式組,解不等式組即可求解.
【解答】解:∵二次函數y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的圖象不經過第三象限,
∴拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經過一、二、四象限,
當拋物線在x軸的上方時,
∵二次項系數a=1,
∴拋物線開口方向向上,
∴b2﹣1≥0,△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)≤0,
解得b≥ ;
當拋物線在x軸的下方經過一、二、四象限時,
設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1,x2,
∴x1+x2=2(b﹣2)≥0,b2﹣1≥0,
∴△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)>0,①
b﹣2>0,②
b2﹣1>0,③
由①得b< ,由②得b>2,
∴此種情況不存在,
∴b≥ ,
故選A.
【點評】此題主要考查了二次函數的圖象和性質,解題的關鍵是會根據圖象的位置得到關于b的不等式組解決問題.
 
10.如圖所示,向一個半徑為R、容積為V的球形容器內注水,則能夠反映容器內水的體積y與容器內水深x間的函數關系的圖象可能是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】水深h越大,水的體積v就越大,故容器內水的體積y與容器內水深x間的函數是增函數,根據球的特征進行判斷分析即可.
【解答】解:根據球形容器形狀可知,函數y的變化趨勢呈現出,當0<x<R時,y增量越來越大,當R<x<2R時,y增量越來越小,
曲線上的點的切線斜率先是逐漸變大,后又逐漸變小,故y關于x的函數圖象是先凹后凸.
故選(A)
【點評】本題主要考查了函數圖象的變化特征,解題的關鍵是利用數形結合的數學思想方法.解得此類試題時注意,如果把自變量與函數的每一對對應值分別作為點的橫、縱坐標,那么坐標平面內由這些點組成的圖形就是這個函數的圖象.
 
二、認真填一填(本題有6個小題,每小題3分,共18分)要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容,盡量完整地填寫答案.
11.因式分解:x2﹣36= (x+6)(x﹣6) .
【分析】直接用平方差公式分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
【解答】解:x2﹣36=(x+6)(x﹣6).
【點評】本題主要考查利用平方差公式分解因式,熟記公式結構是解題的關鍵.
 
12.關于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數根之積為負,則實數m的取值范圍是 m>  .
【分析】設x1、x2為方程x2+2x﹣2m+1=0的兩個實數根.由方程有實數根以及兩根之積為負可得出關于m的一元一次不等式組,解不等式組即可得出結論.
【解答】解:設x1、x2為方程x2+2x﹣2m+1=0的兩個實數根,
由已知得: ,即
解得:m> .
故答案為:m> .
【點評】本題考查了根與系數的關系、根的判別式以及解一元一次不等式,解題的關鍵是得出關于m的一元一次不等式組.本題屬于基礎題,難度不大,解決該題型題目時,根據根的情況結合根的判別式以及根與系數的關系得出關于m的一元一次不等式組是關鍵.
 
13.如圖所示,一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向,距離燈塔4海里的A處,該海輪沿南偏東30°方向航行 4 海里后,到達位于燈塔P的正東方向的B處.
 
【分析】根據等腰三角形的性質,可得答案.
【解答】解:一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向,距離燈塔4海里的A處,該海輪沿南偏東30°方向航行 4海里后,到達位于燈塔P的正東方向的B處
故答案為:4.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質,利用了等腰三角形的腰相等是解題關鍵.
 
14.如圖所示,一只螞蟻從A點出發到D,E,F處尋覓食物.假定螞蟻在每個岔路口都可能的隨機選擇一條向左下或右下的路徑(比如A岔路口可以向左下到達B處,也可以向右下到達C處,其中A,B,C都是岔路口).那么,螞蟻從A出發到達E處的概率是   .
 
【分析】首先根據題意可得共有4種等可能的結果,螞蟻從A出發到達E處的2種情況,然后直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:畫樹狀圖得:
 
∵共有4種等可能的結果,螞蟻從A出發到達E處的2種情況,
∴螞蟻從A出發到達E處的概率是:  = .
故答案為: .
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.
 
15.如圖所示,正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O,OA=AC=2,將正方形繞O點順時針旋轉60°,在旋轉過程中,正方形掃過的面積是 2π+2 .
 
【分析】如圖,用大扇形的面積減去小扇形的面積再加上正方形ABCD的面積.
【解答】解:∵OA=AC=2,
∴AB=BC=CD=AD= ,OC=4,
S陰影= + =2π+2,
故答案為:2π+2.
【點評】此題考查了扇形的面積公式和旋轉的性質以及勾股定理,能夠把不規則圖形的面積轉換為規則圖形的面積是解答此題的關鍵.
 
16.觀察下列等式:
第1個等式:a1= = ﹣1,
第2個等式:a2= = ﹣ ,
第3個等式:a3= =2﹣ ,
第4個等式:a4= = ﹣2,
按上述規律,回答以下問題:
(1)請寫出第n個等式:an=  = ﹣ ; ;
(2)a1+a2+a3+…+an=  ﹣1 .
【分析】(1)根據題意可知,a1= = ﹣1,a2= = ﹣ ,a3= =2﹣ ,a4= = ﹣2,…由此得出第n個等式:an= = ﹣ ;
(2)將每一個等式化簡即可求得答案.
【解答】解:(1)∵第1個等式:a1= = ﹣1,
第2個等式:a2= = ﹣ ,
第3個等式:a3= =2﹣ ,
第4個等式:a4= = ﹣2,
∴第n個等式:an= = ﹣ ;
(2)a1+a2+a3+…+an
=( ﹣1)+( ﹣ )+(2﹣ )+( ﹣2)+…+( ﹣ )
= ﹣1.
故答案為 = ﹣ ; ﹣1.
【點評】此題考查數字的變化規律以及分母有理化,要求學生首先分析題意,找到規律,并進行推導得出答案.
 
三、全面答一答(本題有9個小題,共72分)解答應寫出文字說明,證明過程或推演步驟.如果覺得有的題目有點困難,那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以.
17.計算:(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.
【分析】根據實數的運算順序,首先計算乘方和乘法,然后從左向右依次計算,求出算式(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可.
【解答】解:(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
【點評】(1)此題主要考查了實數的運算,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:在進行實數運算時,和有理數運算一樣,要從高級到低級,即先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減,有括號的要先算括號里面的,同級運算要按照從左到有的順序進行.另外,有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.
(2)此題還考查了零指數冪的運算,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:①a0=1(a≠0);②00≠1.
(3)此題還考查了特殊角的三角函數值,要牢記30°、45°、60°角的各種三角函數值.
 
18.先化簡,再求值: ÷ • ,其中a=2016.
【分析】先算除法,再算乘法,把分式化為最簡形式,最后把a=2016代入進行計算即可.
【解答】解:原式= • •
=(a﹣1)•
=a+1,
當a=2016時,原式=2017.
【點評】本題考查的是分式的化簡求值,在解答此類問題時要注意把分式化為最簡形式,再代入求值.
 
19.如圖,⊙O的直徑為AB,點C在圓周上(異于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分線,求證:直線CD是⊙O的切線.
 
【分析】(1)首先根據直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得AC的長即可;
(2)連接OC,證OC⊥CD即可;利用角平分線的性質和等邊對等角,可證得∠OCA=∠CAD,即可得到OC∥AD,由于AD⊥CD,那么OC⊥CD,由此得證.
【解答】(1)解:∵AB是⊙O直徑,C在⊙O上,
∴∠ACB=90°,
又∵BC=3,AB=5,
∴由勾股定理得AC=4;
(2)證明:∵AC是∠DAB的角平分線,
∴∠DAC=∠BAC,
又∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠DCA=∠CBA,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC+∠OBC=90°,
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,
∴DC是⊙O的切線.
 
【點評】此題主要考查的是切線的判定方法.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
 
20.解方程組 .
【分析】首先聯立方程組消去x求出y的值,然后再把y的值代入x﹣y=2中求出x的值即可.
【解答】解:將兩式聯立消去x得:
9(y+2)2﹣4y2=36,
即5y2+36y=0,
解得:y=0或﹣ ,
當y=0時,x=2,
y=﹣ 時,x=﹣ ;
原方程組的解為 或 .
【點評】本題主要考查了高次方程的知識,解答本題的關鍵是進行降次解方程,此題難度不大.
 
21.為了解某市初三學生的體育測試成績和課外體育鍛煉時間的情況,現從全市初三學生體育測試成績中隨機抽取200名學生的體育測試成績作為樣本.體育成績分為四個等次:優秀、良好、及格、不及格.
體育鍛煉時間 人數
4≤x≤6  62 
2≤x<4 43
0≤x<2 15
(1)試求樣本扇形圖中體育成績“良好”所對扇形圓心角的度數;
(2)統計樣本中體育成績“優秀”和“良好”學生課外體育鍛煉時間表(如圖表所示),請將圖表填寫完整(記學生課外體育鍛煉時間為x小時);
(3)全市初三學生中有14400人的體育測試成績為“優秀”和“良好”,請估計這些學生中課外體育鍛煉時間不少于4小時的學生人數.
 
【分析】(1)直接利用扇形統計圖得出體育成績“良好”所占百分比,進而求出所對扇形圓心角的度數;
(2)首先求出體育成績“優秀”和“良好”的學生數,再利用表格中數據求出答案;
(3)直接利用“優秀”和“良好”學生所占比例得出學生中課外體育鍛煉時間不少于4小時的學生人數.
【解答】解:(1)由題意可得:
樣本扇形圖中體育成績“良好”所對扇形圓心角的度數為:(1﹣15%﹣14%﹣26%)×360°=162°;
(2)∵體育成績“優秀”和“良好”的學生有:200×(1﹣14%﹣26%)=120(人),
∴4≤x≤6范圍內的人數為:120﹣43﹣15=62(人);
故答案為:62;
(3)由題意可得: ×14400=7440(人),
答:估計課外體育鍛煉時間不少于4小時的學生人數為7440人.
【點評】此題主要考查了扇形統計圖以及利用樣本估計總體,正確利用扇形統計圖和表格中數據得出正確信息是解題關鍵.
 
22.如圖,為測量一座山峰CF的高度,將此山的某側山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的,測得坡長AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.
(1)求AB段山坡的高度EF;
(2)求山峰的高度CF.( 1.414,CF結果精確到米)
 
【分析】(1)作BH⊥AF于H,如圖,在Rt△ABF中根據正弦的定義可計算出BH的長,從而得到EF的長;
(2)先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦計算出CE,然后計算CE和EF的和即可.
【解答】解:(1)作BH⊥AF于H,如圖,
在Rt△ABF中,∵sin∠BAH= ,
∴BH=800•sin30°=400,
∴EF=BH=400m;
(2)在Rt△CBE中,∵sin∠CBE= ,
∴CE=200•sin45°=100 ≈141.4,
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541(m).
答:AB段山坡高度為400米,山CF的高度約為541米.
 
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度與坡角問題:坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比,又叫做坡比,它是一個比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常寫成i=1:m的形式.把坡面與水平面的夾角α叫做坡角,坡度i與坡角α之間的關系為:i═tanα.
 
23.科技館是少年兒童節假日游玩的樂園.
如圖所示,圖中點的橫坐標x表示科技館從8:30開門后經過的時間(分鐘),縱坐標y表示到達科技館的總人數.圖中曲線對應的函數解析式為y= ,10:00之后來的游客較少可忽略不計.
(1)請寫出圖中曲線對應的函數解析式;
(2)為保證科技館內游客的游玩質量,館內人數不超過684人,后來的人在館外休息區等待.從10:30開始到12:00館內陸續有人離館,平均每分鐘離館4人,直到館內人數減少到624人時,館外等待的游客可全部進入.請問館外游客最多等待多少分鐘?
 
【分析】(1)構建待定系數法即可解決問題.
(2)先求出館內人數等于684人時的時間,再求出直到館內人數減少到624人時的時間,即可解決問題.
【解答】解(1)由圖象可知,300=a×302,解得a= ,
n=700,b×(30﹣90)2+700=300,解得b=﹣ ,
∴y= ,
(2)由題意﹣ (x﹣90)2+700=684,
解得x=78,
∴ =15,
∴15+30+(90﹣78)=57分鐘
所以,館外游客最多等待57分鐘.
【點評】本題考查二次函數的應用、一元二次方程等知識,解題的關鍵是熟練掌握待定系數法,學會用方程的思想思考問題,屬于中考常考題型.
 
24.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如圖1,若點D關于直線AE的對稱點為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)如圖3,若α=45°,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
 
【分析】(1)根據軸對稱的性質可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根據兩邊對應成比例,夾角相等兩三角形相似證明;
(2)根據軸對稱的性質可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD,全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可;
(3)作點D關于AE的對稱點F,連接EF、CF,根據軸對稱的性質可得EF=DE,AF=AD,再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD,全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可.
【解答】證明:(1)∵點D關于直線AE的對稱點為F,
∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,
又∵∠BAC=2∠DAE,
∴∠BAC=∠DAF,
∵AB=AC,
∴ = ,
∴△ADF∽△ABC;
(2)∵點D關于直線AE的對稱點為F,
∴EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°﹣∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2;
(3)DE2=BD2+CE2還能成立.
理由如下:作點D關于AE的對稱點F,連接EF、CF,
由軸對稱的性質得,EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°﹣∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2.
 
【點評】本題是相似形綜合題,主要利用了軸對稱的性質,相似三角形的判定,同角的余角相等的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,此類題目,小題間的思路相同是解題的關鍵.
 
25.如圖1所示,已知:點A(﹣2,﹣1)在雙曲線C:y= 上,直線l1:y=﹣x+2,直線l2與l1關于原點成中心對稱,F1(2,2),F2(﹣2,﹣2)兩點間的連線與曲線C在第一象限內的交點為B,P是曲線C上第一象限內異于B的一動點,過P作x軸平行線分別交l1,l2于M,N兩點.
(1)求雙曲線C及直線l2的解析式;
(2)求證:PF2﹣PF1=MN=4;
(3)如圖2所示,△PF1F2的內切圓與F1F2,PF1,PF2三邊分別相切于點Q,R,S,求證:點Q與點B重合.(參考公式:在平面坐標系中,若有點A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B兩點間的距離公式為AB= .)
 
【分析】(1)利用點A的坐標求出a的值,根據原點對稱的性質找出直線l2上兩點的坐標,求出解析式;
(2)設P(x, ),利用兩點距離公式分別求出PF1、PF2、PM、PN的長,相減得出結論;
(3)利用切線長定理得出 ,并由(2)的結論PF2﹣PF1=4得出PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4,再由兩點間距離公式求出F1F2的長,計算出OQ和OB的長,得出點Q與點B重合.
【解答】解:(1)解:把A(﹣2,﹣1)代入y= 中得:
a=(﹣2)×(﹣1)=2,
∴雙曲線C:y= ,
∵直線l1與x軸、y軸的交點分別是(2,0)、(0,2),它們關于原點的對稱點分別是(﹣2,0)、(0,﹣2),
∴l2:y=﹣x﹣2
(2)設P(x, ),
由F1(2,2)得:PF12=(x﹣2)2+( ﹣2)2=x2﹣4x+ ﹣ +8,
∴PF12=(x+ ﹣2)2,
∵x+ ﹣2= = >0,
∴PF1=x+ ﹣2,
∵PM∥x軸
∴PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣2,
∴PM=PF1,
同理,PF22=(x+2)2+( +2)2=(x+ +2)2,
∴PF2=x+ +2, PN=x+ +2
因此PF2=PN,
∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4,
(3)△PF1F2的內切圓與F1F2,PF1,PF2三邊分別相切于點Q,R,S,
∴ ⇒PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4
又∵QF2+QF1=F1F2=4 ,QF1=2 ﹣2,
∴QO=2,
∵B( , ),
∴OB=2=OQ,
所以,點Q與點B重合.
 
【點評】此題主要考查了圓的綜合應用以及反比例函數的性質等知識,將代數與幾何融合在一起,注意函數中線段的長可以利用本題給出的兩點距離公式解出,也可以利用勾股定理解出;解答本題需要我們熟練各部分的內容,對學生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學知識貫穿起來.
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